백준알고리즘 1699번 제곱수의 합 C#

세부 정보

• 사이트: 백준알고리즘
• 번호: 1699
• 문제명: 제곱수의 합
• 언어: C#
• 분류: 수학, 다이나믹 프로그래밍
• 비고: 2025년 3월 19일 분석 완료로 업데이트

 

문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=32+12+12(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=22+22+12+12+12(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

 

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

 

풀이

j * j를 통해 제곱수들의 합으로 표현한 항의 최소개수를 구할 수 있다.

// 자연수 입력
int n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
// 입력한 자연수 + 1 크기의 배열 생성
int[] array = new int[n + 1];

// 배열에 0부터 입력한 자연수까지의 수를 할당
for (int i = 0; i <= n; i++) array[i] = i;

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    // j의 제곱값은 i보다 작거나 같아야 한다.
    for (int j = 1; j * j <= i; j++)
    {
        // 제곱수 항의 개수가 더 적게 표현이 가능한 지 확인
        if (array[i] > array[i - j * j] + 1)
            array[i] = array[i - j * j] + 1;
    }
}

// 제곱수들의 합 표현에서 항의 최소개수를 구한다.
Console.WriteLine(array[n]);

 

 

후기

다이나믹 프로그래밍은 어떻게 풀어야 할 지 감을 잡기가 까다로운 면이 있는 것 같다. 시간이 많이 늦어서 왜 저 결과가 어떤 원리로 정답을 내놓는 지 분석하려면 한 며칠은 걸릿 듯하다. 해야 할 일이 많은 관계로 일단은 올리고 추후 보완 분석을 할 예정이다.

보완 분석 결과 j의 제곱값이 i보다 작거나 같다는 점을 알아냈다. i가 5이면 j는 최대 4까지의 값을 가지며, i가 11이면 j는 최대 9까지의 값을 가지는 식이다.